Plano de aula:
Narrativa
Narrativa
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos perto de um antigo refugio meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:
- Não pode ser!
- Isto é um roubo!
- Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
- Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e, ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos, e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça e a nona parte de 35 também não são exatas?
- É muito simples – atalhou o Homem que Calculava. – Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que em boa hora aqui nos trouxe!
Neste ponto, procurei intervir na questão:
- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viajem se ficássemos sem o camelo?
- Não te preocupes com o resultado, ó Bagdali! – replicou-me em voz baixa Beremiz – Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo camelo que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.
- Vou, meus amigos – disse ele, dirigindo-se aos três irmãos -, fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, como vêem em número de 36.
E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
- Deverias receber meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse por fim ao mais moço:
- E tu jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35, isto é 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, o teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!
E concluiu com a maior segurança e serenidade:
- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir – partilha em que todos três saíram lucrando – couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18 + 12 + 4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois.
Um pertence como sabem ao bagdáli, meu amigo e companheiro, outro toca por direito a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança!
- Sois inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos três irmãos.
– Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade! E o astucioso Beremiz – o Homem que Calculava – tomou logo posse de um dos mais belos “jamales” do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
- Poderás agora, meu amigo, continuar a viajem no teu camelo manso e seguro! Tenho outro, especialmente para mim!
E continuamos nossa jornada para Bagdá.
Então pessoal, escolhi esse tema de aula, porque é preocupante, a quantidade de alunos que estão saindo do ensino médio, sem essa bagagem, sem aprender essas operações, sem entendê-las. E questionando alguns deles, alegam, não terem aprendido nos anos iniciais. Acredito que as quatro operações básicas quando bem entendidas e aprendidas, não há o que o aluno não aprenda na matemática, então é isso, deixo aí minha justificativa do porque desse tema.
Objetivos
- Saber mais sobre multiplicação e divisão.
- Antecipar o resultado de certos cálculos e prever algumas características desses resultados.
Conteúdos
- Divisão.
- divisibilidade.
Ano 6º ano.
Desenvolvimento
1ª etapa
A multiplicação com números de 2 algarismos (por exemplo 6 x 28) pode ser pensada com números de um dígito (2 x 3 x 4 x 7). Isso é interessante pois oferece a oportunidade de ler certas informações da escrita numérica que inicialmente não são evidentes. Apresente o exemplo citado para a turma e peça que, com base nele, escrevam as seguintes multiplicações usando apenas números de um algarismo:
a) 4 x 15 =
b) 36 x 24 =
c) 25 x 18 =
d) 12 x 21 =
Analise com os alunos as informações obtidas e pergunte se é possível saber, sem fazer as contas, por quais números o produto da multiplicação é divisível. Por exemplo, se 36 x 24 = 4 x 9x 3 x 8, sabemos que o resultado será um número múltiplo de 4, 9, 3 e 8, os números eleitos para a decomposição ou de suas combinações possíveis – embora, não sejam os únicos.
2ª etapa
Para aprofundar o estudo, proponha que a garotada decida, sem fazer as contas, se as seguinte informações são verdadeiras:
a) 35 x 24 tem o mesmo resultado que 4 x 5 x 3 x 7 x 2
b) 18 x 15 tem o mesmo resultado que 7 x 2 x 9 x 5
c) 5 x 5 x 9 x 2 tem o mesmo resultado que 15 x 30
d) 3 x 7 x 2 x 14 tem o mesmo resultado que 21 x 28
e) 12 x 36 tem o mesmo resultado que 27 x 16
Se necessário, depois, é possível pedir que as crianças confirmem as respostas usando a calculadora.
3ª etapa
Apresente para os alunos o seguinte problema: é possível resolver 24 x 36 usando as teclas da multiplicação (x), de igual (=), do 4 e do 6? E 24 x 37? Por quê?
Neste caso, já não se trata apenas de decompor em fatores de um algarismo. É preciso ir além e determinar de antemão quais são esses fatores. Segundo Hector Ponce, pesquisador argentino de didática da Matemática , “pensar quais multiplicações compõem um número também permitem refletir sobre o funcionamento dos critérios de divisibilidade. Os critérios permitem saber, sem fazer a divisão, se um número é ou não divisível por outro. Isto é, se ao dividir um número A por outro B, o resto vai ou não ser zero. Acreditamos que os alunos devem saber isso, mas também e fundamentalmente, devem ter a oportunidade de se perguntar pelo seu funcionamento. Introduzir as crianças em um trabalho vinculado às justificativas dos critérios implica a partir da nossa perspectiva, convidá-los a percorrer um território particularmente fértil para explorar, argumentar, colocar em jogo conhecimentos de múltiplos e divisores, explicitar relações, pensar nas condições de validade de certa questão, etc.”
4ª etapa
Aprender critérios de divisibilidade é mais que decorar regras pré-estabelecidas e analisar se um determinado número compre ou não as condições esperadas. Por exemplo, ensinar que, para saber se um número é divisível por 4 basta verificar se os dois últimos algarismos são divisíveis por 4 ou se o número em questão termina em dois zeros, não é suficiente para que compreendam a regra. Dúvidas pertinentes como “por que só se termina com dois zeros é divisível por 4?”, “Por que também não é divisível por 4 números terminados com dois 5 (55)?”, “Por que só é divisível por 4 números terminados e não os iniciados por múltiplos de 4?”.
Nas próximas etapas, os alunos são convidados a refletir sobre as regularidades e elaborar critérios de divisibilidade por 2, 5 e 4. Proponha que resolvam individualmente as questões a seguir.
a) O número 426 é divisível por 2?
b) Sem armar a conta ou usar a calculadora, responda se é possível dividir R$ 3.276,00 entre duas pessoas. Qual o valor que cada pessoa deverá receber, aproximadamente? Como resolveu esse problema?
c) Faça os cálculos necessários, se desejar com a calculadora, para descobrir o valor que cada pessoa irá receber. O resultado obtido foi o mesmo que você afirmou mentalmente?
d) Dê exemplos de outros números que você pode afirmar que são divisíveis por 2 sem fazer a conta.
e) Formule uma regra para divisão por 2.
Discuta as respostas apresentadas pela turma e socialize os textos apresentados para a regra pedida na questão e. Por fim, proponha que os alunos, reunidos, formulem uma regra. É importante discutir com os estudantes que um número é divisível por outro quando o resto é zero. É esperado que a garotada conclua que todo número par é divisível por 2.
5ª etapa
Questione os estudantes se, um número que termina com zero, é divisível por 5. Pergunte se essa regra é válida para todos os números terminados em zero. Proponha que, em duplas, formulem uma regra que defina se um número é divisível por 5. É esperado que os alunos, tal como na etapa anterior, observem regularidades da tabuada e generalizem. Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos podem observar algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a comutatividade da multiplicação.
Avaliação
Para analisar o que os alunos aprenderam, proponha uma ampliação do trabalho com regularidades, desta vez com o número 4. Desafie as crianças a realizar as seguintes atividades:
Responda se os números abaixo são múltiplos de 4:
a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
b) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900
Proponha que as crianças observem o que aconteceu. É esperado que observem que nem todos os números redondos de 2 algarismos são múltiplos de 4 (apenas 20, 40, 60 e 80). Porém, que todos os números redondos terminados em 00 são. Peça que elaborem uma regra, apoiando-se nas 3 primeiras etapas, em que precisavam recorrer à decomposição dos fatores em números de 1 algarismo, como 100 = 5 x 5 x 4. Retome que é possível pensar que os números terminados em 00 são múltiplos de 100 (por exemplo, 200 = 2 x 100, etc.). Então, todos os terminados em 00 são múltiplos de 4 (200 = 2 x 100 = 2 x 5 x 5 x 4).
- Saber mais sobre multiplicação e divisão.
- Antecipar o resultado de certos cálculos e prever algumas características desses resultados.
Conteúdos
- Divisão.
- divisibilidade.
Ano 6º ano.
Desenvolvimento
1ª etapa
A multiplicação com números de 2 algarismos (por exemplo 6 x 28) pode ser pensada com números de um dígito (2 x 3 x 4 x 7). Isso é interessante pois oferece a oportunidade de ler certas informações da escrita numérica que inicialmente não são evidentes. Apresente o exemplo citado para a turma e peça que, com base nele, escrevam as seguintes multiplicações usando apenas números de um algarismo:
a) 4 x 15 =
b) 36 x 24 =
c) 25 x 18 =
d) 12 x 21 =
Analise com os alunos as informações obtidas e pergunte se é possível saber, sem fazer as contas, por quais números o produto da multiplicação é divisível. Por exemplo, se 36 x 24 = 4 x 9x 3 x 8, sabemos que o resultado será um número múltiplo de 4, 9, 3 e 8, os números eleitos para a decomposição ou de suas combinações possíveis – embora, não sejam os únicos.
2ª etapa
Para aprofundar o estudo, proponha que a garotada decida, sem fazer as contas, se as seguinte informações são verdadeiras:
a) 35 x 24 tem o mesmo resultado que 4 x 5 x 3 x 7 x 2
b) 18 x 15 tem o mesmo resultado que 7 x 2 x 9 x 5
c) 5 x 5 x 9 x 2 tem o mesmo resultado que 15 x 30
d) 3 x 7 x 2 x 14 tem o mesmo resultado que 21 x 28
e) 12 x 36 tem o mesmo resultado que 27 x 16
Se necessário, depois, é possível pedir que as crianças confirmem as respostas usando a calculadora.
3ª etapa
Apresente para os alunos o seguinte problema: é possível resolver 24 x 36 usando as teclas da multiplicação (x), de igual (=), do 4 e do 6? E 24 x 37? Por quê?
Neste caso, já não se trata apenas de decompor em fatores de um algarismo. É preciso ir além e determinar de antemão quais são esses fatores. Segundo Hector Ponce, pesquisador argentino de didática da Matemática , “pensar quais multiplicações compõem um número também permitem refletir sobre o funcionamento dos critérios de divisibilidade. Os critérios permitem saber, sem fazer a divisão, se um número é ou não divisível por outro. Isto é, se ao dividir um número A por outro B, o resto vai ou não ser zero. Acreditamos que os alunos devem saber isso, mas também e fundamentalmente, devem ter a oportunidade de se perguntar pelo seu funcionamento. Introduzir as crianças em um trabalho vinculado às justificativas dos critérios implica a partir da nossa perspectiva, convidá-los a percorrer um território particularmente fértil para explorar, argumentar, colocar em jogo conhecimentos de múltiplos e divisores, explicitar relações, pensar nas condições de validade de certa questão, etc.”
4ª etapa
Aprender critérios de divisibilidade é mais que decorar regras pré-estabelecidas e analisar se um determinado número compre ou não as condições esperadas. Por exemplo, ensinar que, para saber se um número é divisível por 4 basta verificar se os dois últimos algarismos são divisíveis por 4 ou se o número em questão termina em dois zeros, não é suficiente para que compreendam a regra. Dúvidas pertinentes como “por que só se termina com dois zeros é divisível por 4?”, “Por que também não é divisível por 4 números terminados com dois 5 (55)?”, “Por que só é divisível por 4 números terminados e não os iniciados por múltiplos de 4?”.
Nas próximas etapas, os alunos são convidados a refletir sobre as regularidades e elaborar critérios de divisibilidade por 2, 5 e 4. Proponha que resolvam individualmente as questões a seguir.
a) O número 426 é divisível por 2?
b) Sem armar a conta ou usar a calculadora, responda se é possível dividir R$ 3.276,00 entre duas pessoas. Qual o valor que cada pessoa deverá receber, aproximadamente? Como resolveu esse problema?
c) Faça os cálculos necessários, se desejar com a calculadora, para descobrir o valor que cada pessoa irá receber. O resultado obtido foi o mesmo que você afirmou mentalmente?
d) Dê exemplos de outros números que você pode afirmar que são divisíveis por 2 sem fazer a conta.
e) Formule uma regra para divisão por 2.
Discuta as respostas apresentadas pela turma e socialize os textos apresentados para a regra pedida na questão e. Por fim, proponha que os alunos, reunidos, formulem uma regra. É importante discutir com os estudantes que um número é divisível por outro quando o resto é zero. É esperado que a garotada conclua que todo número par é divisível por 2.
5ª etapa
Questione os estudantes se, um número que termina com zero, é divisível por 5. Pergunte se essa regra é válida para todos os números terminados em zero. Proponha que, em duplas, formulem uma regra que defina se um número é divisível por 5. É esperado que os alunos, tal como na etapa anterior, observem regularidades da tabuada e generalizem. Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos podem observar algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a comutatividade da multiplicação.
Avaliação
Para analisar o que os alunos aprenderam, proponha uma ampliação do trabalho com regularidades, desta vez com o número 4. Desafie as crianças a realizar as seguintes atividades:
Responda se os números abaixo são múltiplos de 4:
a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
b) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900
Proponha que as crianças observem o que aconteceu. É esperado que observem que nem todos os números redondos de 2 algarismos são múltiplos de 4 (apenas 20, 40, 60 e 80). Porém, que todos os números redondos terminados em 00 são. Peça que elaborem uma regra, apoiando-se nas 3 primeiras etapas, em que precisavam recorrer à decomposição dos fatores em números de 1 algarismo, como 100 = 5 x 5 x 4. Retome que é possível pensar que os números terminados em 00 são múltiplos de 100 (por exemplo, 200 = 2 x 100, etc.). Então, todos os terminados em 00 são múltiplos de 4 (200 = 2 x 100 = 2 x 5 x 5 x 4).
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